方程和不定方程

注意

求未知数之和：可以使用极限思想，赋零法。

方程

1. 根据等量关系列等式。
2. 根据不变量列等式。

不定方程

1. 利用数字特性解题。
   1. 奇偶：奇+奇=偶、偶+偶=偶
   2. 尾数：
   3. 倍数：

工程问题

注意

1. 工作总量=时间×效率
2. 时间和效率成反比。
3. 工作时间和时间或效率成正比。

1. 给出各个工作段工作的时间：设工作总量的时间为最小公倍数。
2. 给出各个工作段工作的效率：将效率之间的比值当作效率。
3. 给出各个工作段不同的完工条件：设工作总量不变为一个固定的数值。

数字特性

整除

1. $y=\frac{a}{b}x$，注意：$\frac{a}{b}$是最简分数，x为b的倍数，y为a的倍数。
2. a，b都是x的倍数。a$\pm$b也为x的倍数。
3. 倍数特性：
   1. 3：各个数字之和，消除本身是3的倍数，然后求和。
   2. 2，5：看末尾。
   3. 4，25：看后两位。
   4. 8，125：看后三位。

余数

1. 余同取余。eg：/4...1，/5...1,取余为20n+1。注意：0
2. 和同加和。eg：/4...2，/5...1,取和为20n+6。
3. 差同减差。eg：/6...4，/7...5,取和为42n-2。

等差数列

1. $a_n=a_1+(n-1)d$
2. $a_n=a_m+(n-m)d$
3. $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}=n*a_\frac{n+1}{2}$
4. 中项=平均数=$\frac{a_1+a_n}{2}$

容斥问题

1. 公式：
   1. 总人数-圈外=一部+二部+三部。
   2. 总人数-圈外=总人数-重复部分。
   3. 总人数-圈外=一项-二项-2三项。
   4. 总人数-圈外=一次-二次+三次
2. 画图：条件多且杂。
3. 容斥最值：
   1. 二项：[a+b-100%,最大：小的）
   2. 三项：[a+b-200%,最大：小的）
4. 其它最值：构造不定方程。

溶液问题

1. 溶质不变：列等式。
2. 十字交叉：
   1. 大数减小数。
   2. 溶液，占比，$A=\frac{X}{R}$
   3. 盐水求的是分母之比。
3. 线段法：
   1. 量为距离之反比。
4. 已知条件：
   1. 已知2R和量之比，求另一R。线段法
   2. 已知3R求量之比。十字交叉

经济利润问题

注意

经济利润问题和资料的ABRX一致。

A:成本

B:售价

R:利润率

X:利润

1. 基本公式

   1. 售价=成本+利润=成本×(1+利润率)
   2. $\text{成本}=\frac{\text{售价}}{\text{1+利润率}}$
   3. 数量：$\text{利润率}=\frac{\text{利润}}{\text{成本}}$、资料：$\text{利润率}=\frac{\text{利润}}{\text{收入}}$
   4. 折扣n=售价×0.n

2. 阶梯计费

   1. 分段计算。

3. 分批销售

   1. 每批收入之和=总收入=成本+利润

4. 函数最值

   1. y=(30-3x)(x+4)，令y=0，则$x_1$=10，$x_2$=-4，最值为$\frac{10+(-4)}{2}$=3。
   2. y=$ax^2$+bx+c(a$\not=$0)，则最值为 - $\frac{b}{2a}$。

5. 增长率

   1. 间隔增长率：$R=R_1+R_1+R_1R_2$：求：涨价、降价
   2. 比值增长率：（$A=\frac{B}{C}$）：$R=\frac{R_1-R_2}{1+R_2}$：求：$\text{单价}=\frac{\text{收入}}{\text{销量}}$
   3. 乘积增长率：A=B×C：$R=R_1+R_1+R_1R_2$：求：收入=单价×销量
   4. 盐水：A=B+C：售价=成本+利润

几何公式

面积体积

1. 周长：l=$\frac{n \pi r}{180}$+2r
2. 面积
   1. 正三角形：$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
   2. 菱形：S=$\frac{1}{2}$(长对角线×短对角线)
   3. 梯形：S=$\frac{1}{2}$(上底+下底)×高
   4. 扇形：S=$\frac{1}{2}rl$=$\frac{n \pi r^2}{360}$
   5. 球体：S=4$\pi$R^2
3. 体积
   1. 锥体：V=$\frac{1}{3}$底×高
   2. 球体：V=$\frac{4}{3} \pi R^3$

勾股定理

1. $a^2=b^2+c^2$
   1. 3\4\5
   2. 5\12\13
   3. 6\8\10
   4. 7\24\25
   5. 8\15\17
   6. 9\40\41
2. 30°、60°、90°：1、2、$\sqrt{3}$
3. 45°、90°：1、1、$\sqrt{2}$

三角形泛型

1. 边(a)：面积($a^2$)：体积($a^3$)
2. 三角形同底等高，面积相等。
3. 任意四边形，对角线分成的四个块，对角面积乘积相等。
4. 任意梯形，对角线分成的四个块，相邻面积之比等于一条对角线左右两部分之比等于上底下底之比。
5. 任意梯形，对角线分成的四个块，对角面积之比=$(\frac{\text{上底}}{\text{下底}})^2$

几何最值

1. 矩形周长一定时，正方形面积最大。
2. 矩形面积一定时，正方形周长最小。
3. 周长一定时，越趋于圆，面积越大。
4. 表面积一定时，越趋于球，表面积越大。

最短路径

1. 过河路径最短：过A做河的垂线，距离相等的点B,链接BC交河于点O，AO+OC即为最短路径。
2. 两点在几何体的不同面，展开连接直线，路径最短。

排列组合和概率问题

基础排列组合问题

1. 有序为排列。(A)有位置区别的。
2. 无序为组合。(C)
3. 从特殊入手，全部—不符。eg：问至少？
4. 分步用乘法，分类用加法。

基础概率问题

1. $P_(A)=\frac{\text{符合要求的情况}}{\text{全部情况}}$
2. 独立：$P _ {(AB)}$=$P _ {(A)}P _ {(B)}$

特殊情境

1. 相邻：捆绑。（注意：捆绑的内部顺序）
2. 不相邻：插空。（先排其他元素，然后再把不相邻的情况插空）
   1. 注意是否放两端。
   2. 注意是相邻的和不相邻的否存在顺序。
3. 环形排列：元素减去1。（eg：七个人，$A_6^6$）
4. 定序问题：（eg：n个人m个人有顺序，$\frac{A_n^n}{A_m^m}$
   1. 例题：7个人有3个有顺序。$\frac{A_7^7}{A_3^3}$=840
5. 相同元素分配：插板法。（n个元素分m堆。$C_n-1^m-1$）
6. 平均分堆：若平均分堆，需要除去人为的顺序。（注意：只有平均分堆需要除去顺序）
   1. 例题：6人平均分3组。$\frac{C _6^2C _4^2C _2^2}{A_3^3}$
7. 错位排序：
   1. 1、2、3、4、5、6、
   2. 0、1、2、9、44、256
8. 重复排序：电话后两位。10×10
9. 特殊概率：跟屁虫。（一静一动）
   1. 例题：
10. 比赛问题：注意负场的位置。
    1. 例题：五局三胜。甲赢，第四局赢，80%
    2. 前三局三赢2，输1，第四局赢，为$C_3^2$×(80%)$^2$×20%×80%。
11. 几何模型。（eg：海海刷：考点刷题6.8题$P_31$）

行程问题

1. 基础行程问题
   1. 路程=速度×时间
2. 比例法
   1. 路程一定，速度和时间成反比。
   2. 速度一定，路程和时间成正比。
   3. 时间一定，路程和速度成正比。
3. 相遇追及问题
   1. 直线追及：路程差=速度差×时间。
   2. 直线相遇：路程和=速度和×时间。
   3. 环形追及：追上n次，多走n圈。$nS=(v_1-v_2)t$
   4. 环形相遇：相遇n次，累计走n圈。$nS=(v_1+v_2)t$
4. 流水问题
   1. $v_\text{顺}=v_\text{船}+v_\text{水}$
   2. $v_\text{逆}=v_\text{船}-v_\text{水}$
   3. $v\text{船}=\frac{v_\text{顺}+v_\text{逆}}{2}$
   4. $v\text{水}=\frac{v_\text{顺}-v_\text{逆}}{2}$
5. 火车过桥问题
   1. S=桥长+车长
6. 平均速度问题
   1. $v=\frac{s}{t}$
   2. 等时间：$v=\frac{v_1+v_2}{2}$
   3. 等距离：$v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
7. 匀加速问题
   1. $v=\frac{v_\text{初}+v\text{末}}{2}$
   2. $v_\text{末}=v_\text{初}+at$
8. 多次相遇问题
   1. 相遇n次，累计路程和为2n-1个全程。
   2. 相遇n次，每次相遇的时间为2n-1×第一次相遇的时间。

周期循环和日期星期问题

利用唯一性解题，确定日期，星期，去掉星期看额外的几天

和定最值

问最多，其他人尽量少，问最少，其他人尽量多

最不利极限问题

最差情况+1。

趣味杂题

牛吃草问题

1. $\text{白吃牛}=\frac{\text{天} _ 1\text{牛} _1-\text{天} _ 2 \text{天} _ 2}{\text{天} _1-\text{天} _ 2}$
2. 原有草=（牛-白吃牛）× 天数
3. 给时间，问牛。 牛=$\frac{\text{原有草}}{\text{时间}}$+白吃牛
4. 给牛，问时间。时间=$\frac{\text{原有草}}{\text{牛-白吃牛}}$

鸡兔同笼问题

1. 较小的数值=$\frac{\text{理论-实际}}{\text{插值}}$

方阵问题

1. n行n列，总人数$n^2$。最外层4(n-1)，相邻两层差8

植树问题

1. 两端不植树=间隔数-1。
2. 两端不植树=间隔数+1。
3. 一端植树，一端不植树。或环形植树=间隔数。

统筹规划问题

1. 工程统筹：各自做自己擅长的部分。
2. 经济统筹：优先选单价低的，尽量不浪费。
3. 天平问题：$3^n$=总数，n次找到。

比赛问题

1. 单循环：单个队伍。$C_n^2$
2. 双循环：$2C_n^2$
3. 淘汰赛：
   1. $2^n$=总的队伍数，需要打n场比赛。
   2. 场次：2n个队伍，有n场比赛。若队伍数为奇数，则轮空一个队伍。

蒙猜

1. 整除特性，排除选项/巧用特殊数（0，1，10，100 等）
2. 带入法（问最小，从最小带起，问最大从最大带起）
3. 赋值法
4. 几何问题，选项特点进行排除
5. 排列组合，忽略某个条件进行估算选偏小的
6. 概率问题，问分母，看选项选择
7. 以坑治坑

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